Przejdź do zawartości

Aksjomat pary

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Aksjomat pary (nieuporządkowanej) – jeden z aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla. Stwierdza on istnienie dla dowolnych dwóch elementów zbioru złożonego wyłącznie z tych dwóch elementów.

Postać formalna

[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnych zbiorów i istnieje zbiór którego jedynymi elementami są i Formalnie[1]:

Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności, łatwo można pokazać istnienie dokładnie jednego takiego zbioru dla dowolnych danych i Zbiór ten nazywamy parą nieuporządkowaną i i oznaczamy

Uwaga

Jeśli ograniczyć zakres rozważanych zbiorów do podzbiorów pewnego ustalonego z góry zbioru i wybrać dwa takie podzbiory, tzn. niech
to wówczas do utworzenia pary z tych zbiorów nie jest potrzebny aksjomat pary. Możemy to zrobić, korzystając jedynie z aksjomatu wyróżniania. Mianowicie rozważmy predykat:
wtedy istnieje zbiór:

Dalsze konstrukcje

[edytuj | edytuj kod]

Mając już daną parę zbiorów, możemy teraz zdefiniować zbiór złożony tylko z jednego elementu czyli zbiór jednoelementowy:

[2]

Zbiór należy oczywiście odróżniać od zbioru

Mając dane zbiory możemy zatem skonstruować zbiory i dalej wobec aksjomatu pary Korzystając z aksjomatu sumy, otrzymamy stąd zbiór zwany trójką nieuporządkowaną. Postępując dalej analogicznie, możemy definiować zbiory złożone z trzech, czterech itd. elementów[3].

Przy pomocy tej konstrukcji możemy skonstruować dowolne zbiory skończone. Istnienie zbioru nieskończonego wynika z aksjomatu nieskończoności i jest niezależne od aksjomatu pary[potrzebny przypis].

Para uporządkowana

[edytuj | edytuj kod]
 Osobny artykuł: Para uporządkowana.

Możemy także zdefiniować parę uporządkowaną zbiorów i

[4]

Aksjomat pary zapewnia istnienie, a aksjomat ekstensjonalności jednoznaczność tej definicji.

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]